Chapter 3 REVISÃO - TEORIA DOS CONJUNTOS

3.1 Conjuntos

Chamaremos de conjunto (usualmente representado por alguma letra maiúscula) uma coleção de elementos de algum espaço maior chamado universo (representado aqui pela letra maiúscula U)

Exemplo:

\[ \begin{align*} &U = \mathbb{R}\\ &A = \{0,2,4,6,8,10\} = \{x = 2k\;|\;k=0,1,2,3,4,5\}\\ &B = \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\} = Z\\ &C = \{x \in U\;|\;-1<x \le 2\} = (-1,2\rbrack \end{align*} \]

3.2 Intervalos

\[ \begin{align*} &\lbrack a,b\rbrack = \{x\in R\;|\; a\le x\le b,\; a<b\}\\ &(a,b) = \{x \in R\;|\;a<x<b,\;a<b\}\\ \end{align*} \] Se \(a = b\), então temos um intervalo degenerado, também chamado de singleton \(\;\lbrack a,a\rbrack = \{a\}\)

3.3 Operações com Conjuntos

3.3.1 União (ou Conjunção):

\(A \cup B = \{x \in U\;|\;x\in A\vee x\in B\}\)

Exemplo: \[ \begin{align*} &A=\{2,4,6,8,10\}\\ &B=\{0,1,2,3,4\}\\ &A\cup B=\{0,1,2,3,4,6,8,10\} \end{align*} \]

3.3.2 Interseção (ou Disjunção):

\(A\cap B = \{x\in U\;|\;x\in A\wedge x\in B\}\)

Exemplo: \[ \begin{align*} &A=\{2,4,6,8,10\}\\ &B=\{0,1,2,3,4\}\\ &A\cap B=\{2,4\} \end{align*} \]

3.3.3 Complementar (ou Negação):

\(A^{c} = \{x\in U\;|\;x\notin A\}\)

Exemplo: \[ \begin{align*} &U=\{1,2,3,4,5\}\\ &A=\{3,4\}\\ &A^{c}=\{1,2,5\} \end{align*} \]

3.3.4 Leis de Morgan:

Sejam A e B conjuntos em um universo, então vale que:

\[ \begin{align*} &I) (A\cup B)^{c} = A^{c}\cap B^{c}\\ &II) (A\cap B)^{c} = A^{c}\cup B^{c} \end{align*} \]

Generalizando:

Sejam \(A_1,A_2,...,A_n\;(n\in N)\) conjuntos que pertencem a um mesmo universo, então vale que:

\[ \begin{align*} &I)\;(\overset{n}{\underset{i=1}{\cup}} A_i)^{c}=\overset{n}{\underset{i=1}{\cap}} A_i^c\quad \text{ou}\quad(A_1\cup A_2\;...\;\cup\;A_n)^{c}=(A_1^{c}\cap A_2^{c}\;...\;\cap\;A_n^c)\\ &II)\;(\overset{n}{\underset{i=1}{\cap}} A_i)^{c}=\overset{n}{\underset{i=1}{\cup}} A_i^{c}\quad \text{ou}\quad(A_1\cap A_2\;...\;\cap\;A_n)^{c}=(A_1^{c}\cup A_2^{c}\;...\;\cup \;A_n^c) \end{align*} \]

obs: também funciona para infinitos conjuntos.

Demonstração: (Magalhães, pág.3)

Queremos demonstrar que \((\overset{n}{\underset{i=1}{\cup}} A_i)^{c}=\overset{n}{\underset{i=1}{\cap}} A_i^c\). Quando lidamos com igualdade entre conjuntos, mostraremos que cada um dos conjuntos está contido no outro, portanto precisamos verificar duas condições:

\((\overset{n}{\underset{i=1}{\cup}} A_i)^{c}\subset\overset{n}{\underset{i=1}{\cap}} A_i^c\quad\)e\(\quad(\overset{n}{\underset{i=1}{\cup}} A_i)^{c}\supset\overset{n}{\underset{i=1}{\cap}} A_i^c\)

Seja \(\omega\) um elemento qualquer pertencente ao universo, então supomos que \(\omega\in(\overset{n}{\underset{i=1}{\cup}} A_i)^{c}\), portanto \(\omega\notin(\overset{n}{\underset{i=1}{\cup}} A_i)\), o que também leva a conclusão de que \(\omega\notin A_i\) para todo \(i\). Logo \(\omega\in A_i^{c}\) para todo \(i\) e, portanto \(\omega\in\overset{n}{\underset{i=1}{\cap}} A_i^c\)

De forma análoga, podemos facilmente verificar a segunda condição e, portanto, demonstramos a primeira lei de Morgan. A demonstração da segunda lei pode ser feita da mesma forma.

3.4 Exercícios Resolvidos

(Magalhães, seção 1.2) 1. Sendo A, B e C subconjuntos quaisquer, expresse em notação matemática os conjuntos cujos elementos:

a. Estão em A e B, mas não em C.

b. Não estão em nenhum deles.

c. Estão, no máximo, em dois deles.

d. Estão em A, mas no máximo em um dos outros.

e. Estão na intersecção dos três conjuntos e no complementar de A.

Soluções:

a. não estar em \(C\) significa estar no complementar de \(C\), portanto podemos reescrever a questão da seguinte forma: “Estão em \(A\) e \(B\) e no complementar de \(C\)”. Quando dizemos que um elemento está em um conjunto E em outro, estamos falando de uma interseção, portanto a solução é:

\(A\cap B\cap C^{c}\)

b. não estar em nenhum deles é a negação de estar em algum dos conjuntos. Logo a solução é a seguinte:

\((A\cup B\cup C)^{c}\) ou, utilizando a primeira lei de Morgan: \(A^{c}\cap B^{c}\cap C^{c}\)

c. o elemento não pode estar nos três conjuntos, o que é a negação de estar nos três conjuntos:

\((A\cap B\cap C)^{c}\)

d. isso significa estar em \(A\) e não estar na interseção dos outros dois conjuntos:

\(A\cap(B\cap C)^c\)

e. para estar nos três conjuntos precisa também estar em \(A\), o que torna a interseção com \(A^c\) um conjunto vazio \((\phi)\)