Chapter 8 ESPERANÇA E VARIÂNCIA
8.1 Definição de Esperança
8.1.1 Variável Discreta
Seja \(X\) uma variável aleatória discreta em \(\{x_1,x_2,...\}\) com f.p \(p_x(x)\). Define-se a esperança (ou valor esperado ou média) de \(X\) como:
\[ \begin{align*} &E(x) = \underset{i}{\sum}x_i\cdot p_x(x_i) = \underset{i}{\sum}x_i\cdot P(X=x_i) \end{align*} \]
Exemplo: Seja \(X\) dado por: \(P(X= -2)=0,2\;,\;P(X=-1)=0,3\;,\;P(X=0)=0,3\text{ e } P(X=2)=0,2\).
Vamos imaginar que temos uma barra sem peso que tem massas distribuidas nos pontos \(-2,-1,0,2\).
O centro de gravidade da barra pode ser calculado como:
\[ \begin{align*} &G=\overset{4}{\underset{i=1}{\sum}}x_i p_i =(-2)(0,2)+(-1)(0,3)+(0)(0,3)+(2)(0,2) = -0,3 \end{align*} \]
8.1.2 Variável Contínua
Definição: Seja \(X\) uma v.a contínua com densidade f.
Defini-se a esperança de \(X\) como:
\[
\begin{align*}
&E(X)=\overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\int}}xf(x)dx
\end{align*}
\]
Exemplo: Seja \(X\) com F.D:
\[ \begin{align*} &F(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0,&x<0\\ x,&0\le x\le 1\\ 1,&x>1 \end{array} \right. \\\\ &f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 1,&0\le x\le 1\\ 0,& c.c \end{array} \right. \\\\ &E(X)= \overset{+\infty}{\underset{-\infty}{\int}}xf(x)dx=\overset{0}{\underset{-\infty}{\int}}x0dx\;+\; \overset{1}{\underset{0}{\int}}x1dx\;+\;\overset{+\infty}{\underset{1}{\int}}x0dx\;\\ &=\overset{1}{\underset{0}{\int}}xdx=\frac{x²}{2}\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{2} \end{align*} \]
8.2 Propriedades de Esperança
\[ \begin{align*} &E_1:\;\text{Se }X=c\text{, então }E(X)=c\\ &E_2:\;\text{Se }X\le Y\text{, então }E(X)\le E(Y)\\ &E_3:\;E(aX+b)=aE(X)+b,\;b\;\epsilon\;\mathbb{R}\\ &\qquad\;\text{e também: }E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)\\ &E_4:\;\text{Desigualdade de Jensen: Seja }\Large\varphi\normalsize\text{ uma função convexa,}\\ &\qquad\;\text{se a v.a é integravel }E(X)<\infty\text{, então:}\\ &\qquad\;E[\Large\varphi\normalsize(x)]\ge\Large\varphi\normalsize(E(X)) \end{align*} \]
Um resultado importante:
\[ \begin{align*} &\text{A função }\Large\varphi\normalsize(x) = x² \text{ é convexa, então pela }E_4:\\ &E[X²]\ge(E[X])²\\ &\text{Note que: }E[X²]-(E[X])²\ge0\text{. Essa diferença será importante para a próxima definição} \end{align*} \]