Chapter 5 PROBABILIDADE

5.1 Definição de uma Probabilidade

Existem varias formas de definir uma medida de probabilidade.

5.1.1 Definição Clássica de Probabilidade

Suponha que \(\Omega\) é finito e os pontos amostrais são equiprováveis. Então define-se: \[ \begin{align*} &P(A) = \frac{\#(A)}{\#(\Omega)} \end{align*} \] Exemplo: para \(\varepsilon_1\), \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}\), \(A = \{2,4,6\}\), \(B = \{2\}\), \(C = \{4,5,6\}\)

\[ \begin{align*} &P(A) = \frac{\#(A)}{\#(\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\ &P(B) = \frac{\#(B)}{\#(\Omega)} = \frac{1}{6} \\ &P(C) = \frac{\#(C)}{\#(\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{align*} \]

5.1.2 Definição Geométrica de Probabilidade

Seja \(\varepsilon_2\): escolher aleatoriamente um ponto do intervalo (0,1).

\[ \begin{align*} &\Omega = (0,1) &P(A) = \frac{comp(A)}{comp(\Omega)} \end{align*} \]

\(\varepsilon_3\) escolher um ponto no círculo unitário.

\[ \begin{align*} &\Omega = \{(x,y)\;\epsilon\;\mathbb{R}²\;/\;x²+y²\le1\} \quad A = \{(x,y)\;\epsilon\;\mathbb{R}²\;/\;x²+y²\le\frac{1}{4}\} \\ &P(A) = \frac{área(A)}{área(\Omega)} = \frac{\pi\cdot\frac{1}{4}}{\pi} = \frac{1}{4} \end{align*} \]

Em geral \(P(A) = \frac{volume(A)}{volume(\Omega)}\)

obs: Quando o \(\Omega\) é contínuo, a probabilidade de qualquer ponto é 0.

5.1.3 Definição Frequentista de Probabilidade

\(\varepsilon\): Lançar uma moeda, não necessariamente honesta e registramos a ocorrência de cara.

\[ \begin{align*} &A = \text{ocorrer cara} \\ &n = \text{número de lançamentos} \\ &P(A) = \frac{1}{n}\cdot(\text{número de ocorrência de A}) \end{align*} \]

5.1.4 Definição Axiomática de Probabilidade

Uma medida de probabilidade é uma função que satisfaz os três axiomas a seguir:

\[ \begin{align*} &A_x1: P(A)\ge 0 \\ &A_x2:P(\Omega) = 1 \\ &A_x3:(\sigma\text{-aditividade}):Se\;A_1,A_2,...\text{são disjuntos então,}\;P(\overset{\infty}{\underset{i=1}{\cup}}A_i) = \overset{\infty}{\underset{i=1}{\Sigma}}P(A_i) \end{align*} \]

5.2 Espaço de Probabilidade

Um espaço de probabilidade é um trio (\(\Omega,\mathbb{A},P\)) onde:

\[ \begin{align*} &\Omega\text{ é um conjunto não-vazio} \\ &\mathbb{A} \text{ é uma } \sigma\text{-álgebra de subconjuntos de }\Omega \\ &P\text{ é uma probabilidade em }\mathbb{A} \end{align*} \]

5.3 Propriedades de uma Probabilidade

\[ \begin{align*} &P_1:\;P(A^c) = 1-P(A) \\ &P_2:\;0\le P(A)\le 1 \\ &P_3:\;P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap A^c) \\ &P_4:\;\text{Se } A \subset B \rightarrow P(A)\le P(B) \\ &P_5:\;P(\overset{n}{\underset{i=1}{\cup}}A_i)\le \overset{n}{\underset{i=1}{\Sigma}}P(A_i) \\ &P_6:\;P(\overset{\infty}{\underset{i=1}{\cup}}A_i)\le \overset{\infty}{\underset{i=1}{\Sigma}}P(A_i) \\ &P_7:\;\text{(Continuidade de probabilidade) Se existe uma}\text{sequência }A_n\text{ tal que }A_n \uparrow A \text{ então }\\ &P(A_n) \uparrow P(A).\text{Analogamente, se }A_n \downarrow A \text{ entâo } P(A_n) \downarrow P(A)\\ \\ &P_8:\;P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B). \\ &P(A\cup B\cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C) \end{align*} \]