Chapter 10 MODELOS DE PROBABILIDADE
Como visto no capítulo 6, descreve-se uma variável aleatória pela sua Função de Distribuição ou pela sua Função de Densidade/Probabilidade.
Aqui, estudaremos alguns tipos de variáveis aleatórias conhecidas e suas aplicações.
10.1 Modelos Discretos
10.1.1 Modelo Uniforme Discreto
Esse modelo é utilizado quando temos um número finito de possibilidades, no qual todas elas são equiprováveis.
Seja X uma variável aletória que segue o modelo uniforme discreto, então escreveremos: \(X\sim U_d(A)\), onde \(A\) é o conjunto de valores possíveis para a variável: \(A=\{x_1,x_2,\;...\;,x_n\}\).
Função de Probabilidade: \(p(x_i)=\frac{1}{n}\;,\;i=1,2,...,n\)
Exemplo: Vamos lançar um dado honesto e a variável aletória X será a face observada. É fácil observar que \(X\sim U_d(\{1,2,3,4,5,6\})\):
\(p(x_i)=\frac{1}{6}\)
10.1.2 Modelo de Bernoulli
Esse modelo é utilizado quando temos apenas duas opções, que chamaremos de fracasso e sucesso, ou 0 e 1.
Notação: \(X\sim Bernoulli(p)\) onde \(p\) é a probabilidade de sucesso.
Função de Probabilidade:
\(p(1)=P(X=1)=p\)
\(p(0)=P(X=0)=1-p\)
Exemplo: Lançar uma moeda equilibrada e observar o lado virado para cima.
\[ \begin{align*} &X = \begin{cases} 1 & \text{, se cara}\\ 0 & \text{, se coroa} \end{cases} \end{align*} \]
Como a probabilidade de sair cara é \(\frac{1}{2}\), então \(X\sim Bernoulli(\frac{1}{2})\).
10.1.3 Modelo Binomial
Suponha que vamos realizar \(n\) ensaios de Bernoulli independentes e de probabilidade \(p\) e X será a quantidade de sucessos obtidas nos \(n\) ensaios. Então diremos que X segue uma Binomial de parâmetros \(n\) e \(p\): \(X\sim Bin(n,p)\)
Função de Probabilidade: \(p(x)={n\choose x}\cdot p^x\cdot(1-p)^{n-x}\)
Exemplo: Suponha que vamos lançar 100 moedas equilibradas e X será a quantidade de caras observadas. \(X\sim Bin(100, \frac{1}{2})\)
Qual a probabilidade de sair exatamente 60 caras?
\[ \begin{align*} p(60)={100\choose 60}\cdot\Big(\frac{1}{2}\Big)^{60}\cdot\Big(\frac{1}{2}\Big)^{40} = \end{align*} \]