Chapter 4 EXPERIMENTOS E EVENTOS PROBABILÍSTICOS

4.1 Experimento Aleatório

Iremos denominar pela letra grega \(\varepsilon\) qualquer experimento aleatório realizado sob condições fixas. Vamos também chamar de espaço amostral (\(\Omega\)) o conjunto que contém todos os resultados possíveis de \(\varepsilon\).

Aqui, “resultado possível” significa um resultado elementar e indivisível do experimento \(\varepsilon\).

Exemplos:

(i) seja \(\varepsilon_1\): lançar um dado honesto e observar o resultado (face voltada para cima)

\[ \begin{align*} &\Omega_1=\{1,2,3,4,5,6\}\\ \end{align*} \] (ii) seja \(\varepsilon_2\): medir a tensão de uma rede de alta tensão a cada minuto por uma hora.

\[ \begin{align*} &\Omega_2=[0,+\infty)\\ \end{align*} \] (iii) seja \(\varepsilon_3\): escolher um ponto do círculo unitário.

\[ \begin{align*} &\Omega_3=\{(x,y)\in\mathbb{R}\;|\;x^2+y^2\le1\}\\ \end{align*} \]

4.2 Eventos

Eventos nada mais são do que conjuntos contendo elementos do espaço amostral que satisfazem dada condição. Em outras palavras, um evento é um subconjunto do espaço amostral.

Exemplo:

Para \(\varepsilon_1\), podemos ter, por exemplo, os seguintes eventos:

\[ \begin{align*} &A=\text{"oberva-se um número par"} = \{2,4,6\}\\ &B=\text{"oberva-se o número 2"} = \{2\}\\ &C=\text{"oberva-se um número maior ou igual a 4"} = \{4,5,6\}\\ &C=\text{"oberva-se um ímpar"} = \{1,3,5\}\\ \end{align*} \]

Vamos denominar o conjunto \(\phi\) a um evento impossível, e \(\Omega\) a um evento certo.

Exemplo:

Para \(\varepsilon_1\):

\(A\cap D = \phi\rightarrow\) evento impossível.

\(A\cup D = \Omega\rightarrow\) evento certo.

DEFINIÇÃO: seja \(\Omega\) o espaço amostral para o experimento \(\varepsilon\), todo subconjunto \(A\subset\Omega\) será chamado evento, como já mencionado, \(\phi\) é o evento impossível e \(\Omega\) é o evento certo. Se \(\omega\in\Omega\), o evento \(\{\omega\}\) é dito elementar.

4.3 \(\sigma\)-álgebra

Para conseguirmos definir uma probabilidade precisaremos de uma classe especial de eventos chamada \(\sigma\)-álgebra, que representaremos pelo símbolo \(\mathbb{A}\).

DEFINIÇÃO: seja \(\mathbb{A}\) uma família de subconjuntos de \(\Omega\) tal que:

(i): \(\Omega\in\mathbb{A}\).

(ii): Se \(A\in\mathbb{A}\), então \(A^c\in\mathbb{A}\).

(iii): Se \(A_1,A_2,...\;\in\mathbb{A}\), então \(\overset{\infty}{\underset{i=1}{\cup}}A_i\in\mathbb{A}\).

Nesse caso diremos que \(\mathbb{A}\) é uma \(\sigma\)-álgebra sobre \(\Omega\).

obs: Baseado em (i) e (ii), também podemos afirmar que \(\phi\in\mathbb{A}\), já que \(\phi\) é o complementar de \(\Omega\).

Exemplos:

Para \(\varepsilon_1\), \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\).

Seja \(\mathbb{A}_1=\{\{1\},\{1,2\},\{4,5,6\},\Omega,\phi\}\).

A condição (i) está satisfeita pois \(\Omega\in\mathbb{A}_1\)

A condição (ii) não está satisfeita pois os complementares de vários conjuntos não estão em \(\mathbb{A}\)

A condição (iii) não está satisfeita porque nem toda união de conjuntos dentro de \(\mathbb{A}\) está dentro de \(\mathbb{A}\).

Agora, seja \(\mathbb{A}_2=\{\{1,2\},\{3,4,5,6\},\Omega,\phi\}\)

Em \(\mathbb{A}_2\) podemos facilmente verificar que as três condições foram satisfeitas.